ASTRONOMSKI TROKUT je sferni trokut na nebeskom svodu, kojim se izračunava položaj broda na otvorenom moru. Vrhovi su toga trokuta: nebeski pol, zvijezda A i zenit Z (sl. 1). Stranice su mu: polarna udaljenost p, zenitna udaljenost z i kolatituda zenita ψ, a kutovi: satni kut s, azimut ω i kut kod zvijezde x.

Polarna udaljenost PA = p je luk satnog kruga između pola i zvijezde određen njezinom deklinacijom δ (p = 90° — δ ), koja se broji od ekvatora prema polovima od 0° do 90° i označuje sa N(+), odnosno S(—), prema tome, da li je zvijezda sjeverno ili južno od ekvatora.

Zenitna udaljenost ZA = z je luk vertikalnog kruga između zenita i zvijezde određen njezinom visinom. To je dakle komplement visine zvijezde (z = 90° — v).

Kolatituda zenita PZ = ψ je luk meridijana između pola i zenita određen geografskom širinom položaja broda. To je komplement geografske širine, dakle ψ = 90° — φ.

Satni kut s je kutna udaljenost zvijezde od meridijana, mjerena lukom ekvatora između meridijana i satnog kuta, a broji se od gornjeg (podnevnog) meridijana prema zapadu od 0° do 360°.

Azimut ω je kutna udaljenost zvijezde od meridijana, mjerena lukom horizonta između meridijana i satnog kruga, a broji se od točke N (0°) horizonta prema istoku od 0° do 360°, ili od točke N, odnosno S; od 0° do 180° prema istoku, odnosno prema zapadu prema tome, da li je zvijezda istočno ili zapadno od meridijana.

Kut u zvijezdi je kut x u vrhu trokuta kod zvijezde, a tvore ga vertikalni krug, koji prolazi kroz zenit i zvijezdu i satni krug te zvijezde.

Satni kut s i deklinacija δ određuju položaj zvijezde u koordinatnom sustavu ekvatora, a azimut ω i visina v u koordinatnom sustavu horizonta.

Formule astronomskog sfernog trokuta za pretvaranje satnih koordinata u horizontske jesu:

1. sin v = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos s

2. cotg ω = tg δ cos φ cosec s — sin φ cotg s

Za logaritamsko računanje visine, formula 1. pretvara se u obliku dviju jednadžbi:

a) sin v = cos ( φ — δ ) cos x,

b) \(sin^2\cfrac x2=sin^2\cfrac s2\,cos\varphi\,cos\delta\,sec(\varphi-\delta).\)

Pomoćna su sredstva za rješavanje problema: sekstant za mjerenje visine, kronometar, koji bilježi srednje griničko vrijeme, nautički godišnjak (astronomske efemeride) te azimutalne i logaritamske tablice.

Nautički godišnjak sadrži deklinacije i satne kutove po Greenwichu u kutnoj mjeri od 0° do 360° za Sunce, Mjesec, planete Venus, Mars, Jupiter, Saturn i za sjajnije zvijezde. Satni kut s za druge meridijane izvodi se iz satnog kuta S u Greenwichu, ako mu se algebarski doda geografska dužina na temelju odnosa: s = S+λ.

Azimutalne tablice sadrže rješenje formule 2. za azimut u cijelim stupnjevima.

Navigacija u staro doba određivala je točku broda računanjem geografske dužine i širine. U funkciji procijenjene širine, deklinacije i izmjerene visine zvijezde motrenjem, računao se satni kut i njime izvodila dužina na temelju odnosa: λ = s—S. Diferencijalna formula: ds = cotg ω sec φ d φ pokazuje, da se motrenje moralo vršiti pod što većim azimutom, po mogućnosti u prvom vertikalu (ω = 90°), da bi utjecaj netočnosti d φ u širini na satni kut bio što manji.

Geografska širina računala se u funkciji izmjerene visine motrenjem deklinacije i mjesnog satnog kuta zvijezde izvedenog iz satnog kuta u Greenwichu na temelju odnosa: s = S + λ. Diferencijalna formula dφ=tg ω cos φ ds pokazuje, da se opažanje moralo vršiti pod što manjim azimutom, da bi utjecaj netočnosti ds u satnom kutu na geografsku širinu bio što manji. Redovno se opažala meridijanska visina (ω = 0), a za taj je slučaj: φ = δ ± z.

Moderna navigacija određuje točku broda metodom geometrijskih mjesta, koja je nezavisna od azimuta. Metoda je slijedeća:

Svaka zvijezda A stoji u stanovitom trenutku u zenitu neke određene točke na zemaljskoj kugli, koja leži na spojnici središta zemlje i zvijezde. Geografske koordinate mogu se odrediti u svakom trenutku pomoću satnog kuta u Greenwichu (kronometra). Geografska širina φ odgovara deklinaciji δ te zvijezde, a geografska dužina λ jednaka je satnom kutu S te zvijezde u Greenwichu (sl. 2).

Mjerimo li u bilo koje vrijeme visinu neke zvijezde i opišemo oko njezine projekcije na Zemlji krug, kojeg je polumjer zenitna udaljenost (90° — v), ta će kružnica predstavljati geometrijsko mjesto svih točaka na zemaljskoj kugli, u kojima ima promatrana zvijezda u trenutku motrenja istu visinu. Na toj se kružnici, koja se zove kružnica jednakih visina, mora nalaziti i točka, na kojoj se nalazi brod. Položaj broda ne može se odrediti samo jednom kružnicom jednakih visina, jer bi motritelj u tom trenutku sa svake točke kružnice mjerio istu visinu (zenitnu daljinu).

Položaj broda određuju tek dvije kružnice jednakih visina određene istodobnim motrenjem dviju zvijezda. Položaj broda nalazi se u presjecištu tih kružnica. U tome ipak ima dva rješenja, jer se kružnice jednakih visina sijeku u dvije točke, ali se pravo sjecište može odrediti pomoću azimuta promatranih zvijezda, ili pomoću procijenjene točke, koja je uvijek blizu prave točke. Položaj se ne može odrediti na brodu direktno grafički na globusu, jer bi promjer globusa morao biti veći od osam metara, da bi lučna minuta bila dovoljno velika, barem jedan milimetar (sl. 2 i 3).

Položaj se broda ne može odrediti grafički ni pomoću pomorske karte direktnom konstrukcijom kružnice jednakih visina, jer je ta kružnica na karti prikazana krivuljom, koju je veoma teško crtati od točke do točke rješavanjem njezine jednadžbe sin v = sin φ sin φ sin δ + cos φ cos δ cos s u odnosu na ekvator i satni krug. Zato se u praksi određuje geometrijsko mjesto broda indirektnom metodom, koju je pronašao francuski admiral Marcq de Saint-Hilaire. Metoda se temelji na činjenici, da je procijenjena točka uvijek dovoljno blizu pravom položaju broda, tako da dolazi u obzir samo onaj mali luk kružnice, koji se nalazi u predjelu procijenjene točke. Taj se kratki luk dosta točno podudara s lukom loksodrome, koja ga dodiruje u jednoj točki, te je za praktične svrhe dopušteno uzeti za geometrijsko mjesto luk loksodrome, koji se na pomorskoj karti predočuje kao pravac. Za zbiralište uzima se točka d, u kojoj vertikalni krug, koji prolazi kroz procijenjenu točku T, siječe kružnicu i stoji na njoj okomito (sl. 4). Položaj luka jedne loksodrome, određen je prema točki T azimutom zvijezde i lukom Td vertikalnog kruga, koji je jednak razlici između izmjerene zenitne daljine motrenjem Ad i izračunate AT za procijenjenu točku T. Luk Td uvijek je malen pa se može zamijeniti lukom loksodrome, koja ga dodiruje u točki T, a mjeri se, za prijenos na kartu, u miljama na ljestvici širina. On se sa svojim algebarskim predznakom određuje odbijanjem promatrane zenitne daljine od računate, ili odbijanjem računate visine od opažene. Dakle: Td = z_r — z_o = v_o — v_r. Kad je pozitivan, orijentiran je u smjeru azimuta (točka T izvan kruga), a kad je negativan, orijentiran je u suprotnom smjeru azimuta (ω + 18ο°, točka T u krugu).

Luk loksodrome, to jest pravac položaja, određen je u smjeru i položaju prema točki T segmentom Td i azimutom ω. Dva luka loksodrome, koji su određeni istodobnim opažanjima dviju zvijezda, određuju u svome sjecištu Т_b točku broda, koja se u praksi podudara sa sjecištem С kružnice.

Pitanje položaja broda rješava se dakle ovim redom:

1. U trenutku mjerenja visina zabilježi se kronometarsko vrijeme i ustanovi procijenjena točka broda. Sa zabilježenim griničkim vremenom pronađu se u Nautičkom godišnjaku deklinacije i satni kutovi opaženih zvijezda i izvedu mjesni satni kutovi na temelju odnosa: s = S ± λ. U azimutalnim tablicama pronađu se azimuti.

2. Izračunaju se visine zvijezda i odbiju od opaženih. Tako pronađenim segmentima Td₁ i Td₂ zabilježe se na azimutalne smjerove ω₁ i ω₂, dirališta d₁ i d₂ i preko ovih se okomito na azimutski smjer povuku pravci položaja 1 i 2, koji u sjecištu Tb određuju točku broda (sl. 5).

Ako su motrenja učinjena u razmaku vremena, prvi se pravac položaja mora pomaknuti u smjeru kursa broda za prevaljeni broj milja do časa drugog motrenja.

Francuski matematičar Souillageout prvi je predložio 1900, da se kosokutni astronomski sferni trokut podijeli u dva pravokutna trokuta, kako bi se iz dva pravokutna trokuta mogla pomoćnim tablicama brže izračunati visina i azimut nebeskog tijela. Taj je prijedlog međutim pao u zaborav, jer su konzervativni pomorci bili zadovoljni svojim klasičnim nautičkim tablicama.

Brzi parobrodi, a osobito avioni u prekooceanskoj plovidbi, mnogo su utjecali na razvitak metoda astronomske nautike.

Jedan između prvih reorganizatora nautičkih tablica je Ćiro Carić, čije su nautičke tablice, štampane 1924, zapažene širom svijeta. Poslije njega pojavilo se mnogo pomoćnih nautičkih tablica, u kojima su tabelirane pomoćne vrijednosti, izračunate iz dva pravokutna sferna trokuta. Temeljni se kosokutni astronomski sferni trokut može podijeliti na dva načina u dva pravokutna sferna trokuta, i to tako, da se povuče okomica ZO iz zenita na stranicu pol—zvijezda (sl. 6), ili da se povuče okomica AR iz zvijezde na stranicu pol—zenit (sl. 7). Prvi se način mnogo češće upotrebljava.

Primjenom Napierova pravila za rješavanje pravokutnih sfernih trokuta dobit ćemo ove formule:
Bez obzira kako se dijeli kosokutni astronomski sferni trokut, da li spuštanjem okomice sa zvijezde ili sa zenita, pomoćnim tablicama treba izračunati najprije iz »satnog pravokutnog trokuta« pomoćne veličine, to jest dužinu okomice i udaljenost vrhova trokuta (Ζ, Ρ, Α, sl. 6) od točke, u kojoj ona siječe stranicu, na koju je spuštena. Poslije toga tek izračunavaju se iz »visinskog pravokutnog trokuta« visina i azimut.

Prema navedenim formulama izračunate su različite skraćene pomoćne tablice (Ogura, Weems, Ageton, Gingrich i dr.), koje se danas upotrebljavaju u pomorskoj i avionskoj navigaciji za brzo izračunavanje azimuta i visine.Ć. C.