BROD, GIBANJE NA VALOVIMA

Kad brod plovi po uzburkanom moru, podvrgnut je različnim gibanjima. Ta su gibanja redovno veoma komplicirana, ali je uobičajeno, da se pri proučavanju rastavljaju na jednostavna gibanja, koja se mogu lakše i jednostavnije promatrati. Tako razlikujemo: 1. oscilatorna gibanja: oko uzdužne osi broda — ljuljanje, oko vertikalne osi broda — zaošijanje, oko horizontalne osi broda — posrtanje; 2. paralelna gibanja: u smjeru vertikalne osi — poniranje, u smjeru poprečne osi — zanošenje i u smjeru uzdužne osi — zaustavljanje. О smjeru broda i о smjeru valova ovisi, koja će vrsta gibanja nastati, odnosno koje će gibanje broda prevladavati.

A. Valovi. Na širokoj pučini oceana nastaju jednoliki i pravilni valovi. Čestice vode ne putuju zajedno s valovima; one samo titraju u horizontalnom i u vertikalnom smjeru. Za vrijeme jednog punog titraja one opišu putanju u obliku kruga. Oblik vala može se predočiti trohoidom, t. j. krivuljom, koju opiše neka točka na polumjeru kruga, kad se valja po pravcu. Ta se teorija valova zove trohoidnom teorijom. Prvi ju je postavio Gestner (1802), a dalje su je uglavnom razradili Rankine i Froude; ona je danas u brodogradnji općenito prihvaćena i primjenjuje se kod nauke о gibanju broda na valovima, čvrstoće i otpora broda (sl. 1).

Prema trohoidnoj teoriji, čestice vode u valovima opisuju jednolikom kutnom brzinom kružne putanje (oko nepomičnog središta). Na istoj horizontalnoj ravnini radijusi su kružnih putanja jednaki, a faze su im u gibanju pomaknute. Središta na istoj vertikali imaju iste faze, ali se radijusi njihovih kružnih putanja smanjuju s udaljenošću od površine vode. Kad uzmemo pravokutnik vode, u mirnom stanju sastavljen od vertikalnih i horizontalnih stranica, on se na valovima iskrivi: vertikalne mu se stranice izvinu, ispod brijega vala još i izduže, a ispod doline vala stegnu, dok mu horizontalne stranice poprime valovit oblik. Vertikalne stranice titraju oko svojeg vertikalnog položaja, one konvergiraju prema brijegu vala, a divergiraju od doline. Slojevi vode i središta kružnih putanja podignu se iznad svojih položaja u mirnoj vodi (sl. 2).

Označimo sa L dužinu vala; sa T₁ periodu vala (potrebno vrijeme, da dva uzastopna brijega prođu istom nepomičnom točkom); sa V_v brzinu vala; sa R radijus kruga, koji se valja; sa ω kutnu brzinu valjanja, a sa g akceleraciju sile teže. Tada imamo, da je dužina vala 2πR; brzina vala V_v = R · ω; inače je još \(\omega=\sqrt{g/R}\;\;\) (sl. 3), te je prema tome:

\[V_v=R\cdot\omega=R\cdot\sqrt{g/R}=\sqrt{R\cdot g}=\sqrt{L\cdot g/2\pi}.\]

Perioda vala je:

\[T_1=L/V_v=L\cdot\sqrt{2\pi}/\sqrt{gL}=\sqrt{2\pi L/g}.\]

Središta kružnih putanja podignuta su iznad površine mirne vode za r²/2R (gdje je r radijus kružnih putanja). Prosječno podizanje vodenih čestica iznad doline vala iznosi r; prema tome podizanje sloja vode iznad razine u mirnoj vodi iznosi: r—r²/2R, što se odrazuje u potencijalnoj energiji vala. Zbog okretanja čestica vode jednolikom kutnom brzinom u valu, javlja se kinetička energija. Ukupna energija za jedinicu širine trohoidnog vala iznosi E = g · L · a²/8 (gdje je a visina vala); sastavljena je po polovici od kinetičke i od potencijalne energije.

Konačno da navedemo izraze, koji vrijede kod trohoidnog vala:

\[v_v=\sqrt{gL/2\pi}=2{\rm,}26\,\sqrt L;\;\;\;V_v=1{\rm,}34\,\sqrt L;\]

\[T_1=\sqrt{2\pi L/g}=0{\rm,}442\,\sqrt L;\;\;\;L=0{\rm,}196\,{v_v}^2=0{\rm,}58\,{V_v}^2\]

(v_v — brzina vala u m/sek; V_v — brzina vala u čvorovima, L — dužina vala u m; T₁ — perioda vala u sekundama).

Radijusi kružnih putanja vrlo brzo padaju s dubinom vode prema formuli: r = r₀ · e^2πh/L (r = radijus kružne putanje na dubini vode h; r₀ = radijus kružne putanje na površini vode = polovini visine vala; L = dužina vala; e = baza prirodnih logaritama). Prema toj formuli izlazi, da je voda kod dubine jednake dužini vala već praktički mirna.

Kad valovi naiđu na plitku vodu, kinetička se energija koncentrira na sve manji broj čestica vode; one se sve brže gibaju, a valovi postaju sve strmiji i kraći; konačno se brijeg vala (koji se giba tolikom brzinom, da ga voda iz doline vala ne može slijediti) otkine i prebaci naprijed prema obali.

Kad se dva vala (jednake periode), ali različite brzine, gibaju u istom smjeru, možemo jednostavno pratiti rezultantni val, jer se amplitude pojedinih komponentnih valova zbrajaju. Brzina širenja rezultantnog vala jednaka je polovini brzine komponentnih valova. Kad se komponentni valovi šire u istom smjeru, visina je rezultantnog vala sastavljena od sume visina komponentnih valova. Ako se komponentni valovi šire u obratnim smjerovima, putanje rezultantnog vala postaju eliptične. Kad se bregovi valova podudaraju, velika je os eliptične putanje vertikalna; kad brijeg jednoga vala padne na dolinu drugoga, velika je os elipse horizontalna; na ostalim mjestima velika je os nagnuta pod nekim kutom. Amplituda se rezultantnog vala mijenja (ona je funkcija vremena). Ako su visine komponentnih valova jednake, elipsa se pretvara u pravac, a rezultantni se val uopće ne pomiče horizontalno — bregovi i doline rastu i nestaju stalno na istoj točki, a ne pomiču se naprijed. Ovaj slučaj primjećujemo, kad se valovi odbijaju od vertikalne stijene, о koju udaraju pod pravim kutom; valovi nadolaze i odbijaju se s istom visinom i istom dužinom, imaju jednake brzine, a obratna su smjera.

Zbog viskoznosti vode stalno se kod valova troši energija na svladavanje trenja (ta se energija pretvara u toplinu). Ako se energija ne obnavlja, valovi brzo nestanu. Energija se valovima dovodi djelovanjem neke vanjske sile (vjetar, gibanje broda). Vjetar može predati valu energiju samo onda, kad mu je brzina veća od brzine vala, а о brzini trohoidnog vala ovisi dužina vala. Prema tome vjetar određene brzine može proizvesti samo valove ograničene duljine. Duži valovi sadrže veću nagomilanu energiju, te mogu prijeći veći put. Odnos između vjetra i vala teško je izraziti matematskom formulom. To su područje iscrpno obradili Zimmermann (Schiffbau, 1920) i Cornish (Ocean Waves, Cambridge 1934) te Gaillard (Wave action 1935) (sl. 4). Na slici je predočen Zimmermannov dijagram, koji je on razradio na temelju stotine izvještaja raznih brodova. Iz dijagrama može se odrediti svaka od 5 promjenljivih veličina (brzina vjetra, visina vala, brzina vala, perioda vala te dužina vala), kad je samo jedna od njih poznata. Vrijednosti su pouzdane za periode veće od 8 sekunda.

Promatrač s broda može ispravno ocijeniti dužinu i periodu vala, ali mu je vrlo teško ocijeniti visinu. Kad se brod nalazi na nagibu dugog vala, prividna promatračeva vertikala okomita je na. površinu vala, te je njegov horizont tangenta na površinu vala (nije horizontalan). Njemu se čini, da je visina vala, koji dolazi, pretjerano velika, jer je on ocjenjuje prema svome ličnom horizontu, a uvjerenje, da je ocjenjuje prema morskom obzorju. Što je brod kraći, prema dužini vala, to je učinjena pogreška veća. Prosječne visine valova dosežu 10 m; primijećene su i visine od 12 do 15 m. Kod preklapanja valova primijećene su i veće visine rezultantnih valova.

Na pličinama visine valova naglo rastu. Na svjetioniku Tillamok (Oregon, USA), koji stoji uz ocean na velikim pličinama, kamen, koji je val ponio sa sobom, razbio je staklo visoko 40 m iznad razine mora.

Najveći zabilježen omjer visine vala prema duljini iznosi: kod kratkih valova 1 : 6; kod valova do 100 m dužine oko 1 : 8; kod valova od 100 m 1 : 20, a kod najdubljih valova 1 : 50.

Kad se dvije tekućine raznih gustoća nalaze jedna povrh druge, na njihovoj dodirnoj površini mogu nastati valovi, a da se oni na gornjoj površini i ne primijete. Takve granične valove primijetili su na ušćima velikih rijeka. Na tim područjima kod male brzine broda, zbog pojave graničnih valova, znatno poraste otpor broda.

Kad se na plitkoj obali brijeg vala prebaci, rađa se novi val, koji osamljen napreduje prema obali. Valove te vrste zovemo translatornim; oni dolaze naročito do izražaja kod otpora broda. U uskom kanalu može takav translatorni osamljeni val proći čitavom dužinom kanala u obliku valnog brijega, a da ostala površina vode ispred brijega i iza brijega ostane potpuno mirna. Pokusima je dokazano, da se širi jedino forma vala i da ona ostaje nepromijenjena. Putanje vodenih čestica (dokazane sitnim tjelesima uronjenim u vodu) imaju oblik poluelipse. Brzina širenja osamljenog vala u kanalu ograničene dubine iznosi: \(v_v=\sqrt{gH}\) , odnosno \(V_v=1{\rm,}945\cdot\sqrt{gH}\;\) (v_v = brzina vala u m/sek; V_v = brzina u čvorovima; H = dubina kanala u m; g = ubrzanje sile teže m/sek).

U vezi sa širenjem translatornog vala javljaju se zanimljive pojave kod plovidbe u kanalima. Kod malih brzina brod proizvodi po krmi niz valova (sl. 5a), a kod veće brzine samo jedan osamljeni translatorni val (sl. 5b), koji se zajedno s njime giba; pritom u znatnoj mjeri pada otpor broda. Prvi je tu pojavu primijetio Scott Russell kod konja, koji su kopitarili krcate teglenice; jedan je konj teglio većom brzinom od ostalih i stizao na cilj znatno manje umoran. On je naknadnim pokusima u kanalu dubine H = 2,3 m mjerio otpor teglenice i ustanovio, da je kod brzine od 6,2 čvora potrebna snaga od 114 kg; kod 7,6 čvorova 227 kg; kod 9 čvorova samo 127 kg; prema navedenoj formuli brzina translatornog vala kod dubine od 2,3 m iznosi 4,75 m/sek, odnosno 9,24 čvora.

Osamljeni se valovi javljaju vrlo rijetko. Redovna je pojava, da se valovi šire u grupama. Ukupna je energija vala sastavljena po polovini od potencijalne i od kinetičke energije. Razlika u energiji između dva vala ostaje konstantna. Svaki val na svojoj dužini predaje drugom valu polovinu svoje energije, zadržava polovinu vlastite energije i preuzima polovinu energije vala ispred sebe. U vremenu potrebnom, da val prođe dvije svoje dužine, energija se grupe valova pomakne za jednu dužinu vala. Prema tome je brzina grupe valova za polovinu manja od brzine pojedinih valova (od kojih je grupa sastavljena).

Kod gibanja broda javljaju se dva sistema: razilazni i poprečni valovi. Oba se ta sistema javljaju iza pramca i iza krme broda. Prvi je potanko promatrao te valove Kelvin, a mnogo kasnije (INA, 1934) matematski ih je razradio Havelock svojom teorijom točke tlaka u gibanju. Bregovi poprečnih valova BD i bregovi razilaznih valova AB i AD putuju stalno u istom smjeru jednakom brzinom kao i točka tlaka. U jedinici vremena točka tlaka prevali put EA, a greben (koji se nakon istoga vremena nađe u točki C) prevali put EC, tako da je EA = 2EC. Točka tlaka bježi ispred valova, koje je stvorila, i ostavlja iza sebe neprekidan niz. Energija na svakoj dužini vala ostaje konstantna (kad se ne uzme u račun trenje). Budući da širina valova raste sa svakom dužinom vala, a energija ostaje jednaka, to su visine valova sve manje (sl. 6).

To vrijedi za neograničenu dubinu vode. U plitkoj vodi val može postići samo neku određenu maksimalnu brzinu, koja ovisi o dužini vala i о dubini vode. Kod ograničene dubine kut razilaznih valova raste; istodobno rastu grebeni razilaznih, a padaju grebeni poprečnih valova. Daljim porastom brzine (odnosno manjom dubinom vode) potpuno nestanu poprečni valovi, a razilazni se val raširi i postane okomit na smjer gibanja točke tlaka. Valovi se ne mogu širiti tom brzinom (zbog ograničene dubine), te preostane jedino jedan osamljeni translatorni val, koji ide s točkom tlaka.

Neke postavke iz teorije о valovima iskorišćujemo u praktične svrhe: na relativno maloj dubini vode valovi posve nestanu. To nam služi za ocjenu visine valova na površini mora. Kad uzmemo dosta dugu letvu i pričvrstimo joj na donjem dijelu komad drveta, opterećen nekom težinom, motka će u moru plivati vertikalno i ne će slijediti gibanje valova, nego će u vertikalnom smjeru biti mirna. Ako je motka na gornjem dijelu graduirana, možemo očitati razlike između brijega i doline vala, dakle visine valova. Na istom se principu zasniva i uređaj za očitanje gaza broda. Uzmemo dosta dugu cijev sa staklenim nastavkom na gornjem dijelu; kad je uronimo u vodu, razina vode na gornjem kraju cijevi ostaje jednaka (ne slijedi vertikalno gibanje valova izvan cijevi), te možemo točno očitati gaz.

Na istom se principu zasnivaju i projekti velikih platforma (aerodroma) na oceanima. Zamišljen je velik broj duboko u vodu zaronjenih cijevi (s membranama pri gornjem kraju), koje na vrhu nose platformu. Uzgon je tih cijevi duboko u mirnoj vodi, zato platforma i na valovima ostaje mirna.

Mjerenje valova i kutova nagiba. Kod vala možemo mjeriti visinu, dužinu i periodu. Odnosi između brzine i dužine vala odgovaraju trohoidnoj teoriji. Dovoljno je izmjeriti dužinu ili periodu; ostale se veličine mogu izračunati. Najteže se mjeri visina vala. Dužinu mjerimo tako, da odredimo na bilo koji način udaljenost između dva brijega. Na otvorenom se moru to najlakše izvede puštanjem privezanog plovka iza broda; kad se plovak i promatrač nalaze na brijegu vala, tada je dužinom konopa određena i dužina vala. Još je lakše izmjeriti periodu mjerenjem vremena potrebnog da dva uzastopna brijega prođu istom nepomičnom točkom. Ako se perioda mjeri s broda, koji plovi, tako izmjereno vrijeme daje prividnu periodu (zvanu i periodom susretanja). Mjeriti je vrijeme to lakše, što je smjer broda okomitiji na smjer valova. Pravu periodu valova izračunamo iz prividne periode T kod poznate brzine broda i brzine valova, kad je još poznat i kut susretanja.

Najteže je izmjeriti visinu vala. Stoga sve podatke о visinama valova na oceanima treba primiti s rezervom. Kad je smjer vala okomit na zidanu obalu, visina je vala određena najvišom točkom, do koje stiže brijeg vala. Kad brod plovi okomito na valove, on znatno posrće, a može i da se ljulja, te je procijenjena visine vala nesigurna. Promatrač se giba zajedno s brodom. Prividna ili virtuelna njegova vertikala okomita je na nagib vala i ne podudara se s apsolutnom vertikalom. U tom je slučaju vrlo teško razlikovati morski horizont (okomit na apsolutnu vertikalu) od prividnog brodskoga. Nastaju pretjerane procjene u visinama valova. Kad bi se promatrač mogao postaviti na brodu tako, da mu se bregovi valova, kod uspravnog položaja broda u dolini vala, prekrivaju s horizontom (koji u tom trenutku vidi), tada bi visina njegova oka iznad mora bila jednaka visini vala. Takvo mjesto nije na brodu lako pronaći; ono ovisi i о amplitudi vala, koja se stalno mijenja.

Najobičniji uređaj za mjerenje kuta nagiba broda pri ljuljanju jest obično njihalo s kratkom periodom (inklinometar). Ono pokazuje točno kut nagiba, kad je obješeno u središtu, oko kojega se brod ljulja; s udaljenošću od te osi raste pogreška. U tom je slučaju njihalo u svakom trenutku podvrgnuto djelovanju triju sila: sili teže, centrifugalnoj i tangencijalnoj sili. Pri kraju nagiba tangencijalna sila postaje najveća, a centrifugalna je sila tada jednaka nuli. Te dvije sile povećavaju njihalu kut nagiba za ϑ' iznad stvarnog kuta nagiba broda ϑ. Ako uzmemo, da je ljuljanje broda sinhrono s njihalom (periode su jednake), možemo uzeti kod malog kuta nagiba, da je sin (ϑ' — ϑ) = ϑ' — ϑ; ako dalje uzmemo, da je cos ϑ' = 1 (ovim smo učinili znatniju griješku, ako je ϑ ≥ 30°), tada dobivamo, da je \(\vartheta'=\vartheta\left(1+\cfrac{4h\pi^2}{g\cdot T^2}\right)\) . Tu je h vertikalna udaljenost između osi, oko koje se brod ljulja, i mjesta, na kojem je inklinometar obješen. Vidimo, da je pogreška to veća, što je ta udaljenost veća, ali da ona pada s kvadratom periode ljuljanja broda. Inklinometar obješen u krmilarnici visoko iznad plovne vodene linije (na visini te linije nalazi se otprilike os ljuljanja broda) može kod broda s malom periodom, koji se brzo valja, pokazivati i za 50 do 100% veći kut od stvarnog kuta nagiba broda.

Sporo njihalo, s periodom barem 4 puta većom od periode ljuljanja broda, pokazuje stalno apsolutnu vertikalu u prostoru, te može služiti, da se odredi krivulja ljuljanja broda. Kad tim njihalom želimo izmjeriti kut nagiba broda, dademo mu neku početnu oscilaciju s malom amplitudom, da se izbjegne pogreška, ako se njihalo za vrijeme promatranja počne njihati u vlastitoj periodi. U tom slučaju osnovica krivulje ljuljanja nije više pravac, kao kod mirnog njihala, nego sinusoida s neznatnom amplitudom; to se jednostavno ispravi nanošenjem krivulje s kutovima nagiba. Njihalo sa vrlo malom periodom (manjom od pola sekunde) trenutačno se prilagođuje rezultanti svih sila, koje na nj djeluju. Ono u svakom trenutku pokazuje normalu na efektivni nagib vala (prividnu vertikalu). Kod promatranja ljuljanja na valovima potrebno je jedno njihalo sa vrlo kratkom i jedno sa vrlo dugom periodom; tako možemo u svakom trenutku očitati nagib broda prema pravoj i prema prividnoj (virtuelna) vertikali.

Mallockov indikator ljuljanja sastoji se od obočja napunjenog tekućinom, u kojoj se okreće lopatično kolo (kojeg je gustoća jednaka gustoći tekućine) praktički bez trenja. Obočje slijedi ljuljanje broda; brzina je ljuljanja neznatna, te samo neznatan sloj tekućine uz samu površinu obočja slijedi ljuljanje, dok lopatično kolo praktički ostaje na miru. Kazalo na obočju pokazuje nagib broda.

Među najtočnije metode za mjerenje kutova nagiba broda ide viziranje na vertikalnu, graduiranu letvu. Za vizir može služiti uzak horizontalan razrez, postavljen u središnjici broda na mjestu, odakle se jasno vidi horizont. Na određenoj udaljenosti od vizira prema boku broda postavimo letvu (graduiranu u centimetrima ili — kod točno određenog razmaka između vizira i letve — s označenim kutovima). Pri koncu nagiba broda očita se s linijom horizonta visina na letvi; pri jasnom horizontu i vedrom vremenu dobivamo vrlo točan kut nagiba. Umjesto viziranja i očitanja, možemo nagibanje snimiti na filmsku vrpcu te dobivamo bez pogreške krivulju ljuljanja broda.

Kod ljuljanja (kao i kod posrtanja) na svaki pojedini ugrađeni element broda djeluju 3 sile: sila teže, centrifugalna i tangencijalna sila. Silu teže možemo rastaviti na dvije komponente: na silu paralelnu sa središnjom ravninom broda — w · cos ϑ i na silu okomitu na nju —w ·sin ϑ (gdje je w težina tog elementa). Centrifugalna sila djeluje u radijalnom smjeru od osi ljuljanja i iznosi: (w/g) · ω² · (ω = kutna brzina ljuljanja broda, r = udaljenost težišta tog elementa od osi ljuljanja). Kutna je brzina ljuljanja redovito neznatna. Stoga i centrifugalna sila, pa i za elemente, koji su znatno udaljeni od osi ljuljanja, iznosi rijetko više od 5% težine elementa. Kad je težište elementa u središnjoj ravnini broda, smjer je djelovanja centrifugalne sile obratan smjeru djelovanja komponente sile teže ω · cos ϑ; ona smanjuje težinu elementa. Centrifugalna je sila najveća, kad je brod u uspravnom položaju, jer je tada najveća kutna brzina ljuljanja.

Tangencijalna sila nastaje zbog kutnog ubrzanja; ona je najveća, kad je ϑ_maks = ϑ (4π²/T²); smjer je linearne akceleracije okomit na spojnicu težišta elementa s osi ljuljanja broda. Maksimalna je vrijednost tangencijalne akceleracije r (4π²/T²) ϑ, prema tome je tangencijalna sila r(w/g) (4π²/T²) ϑ. Kad je težište elementa u središnjoj ravnini broda, smjer se tangencijalne sile podudara sa smjerom komponente sile teže w · sin ϑ, te ukupna poprečna sila, nastala kod ljuljanja broda, iznosi za neki element w [sin ϑ + (4π² · r/g · Τ²) ϑ]; ova jednadžba vrijedi za izohrono ljuljanje broda. Brod se rijetko ljulja izohrono, te je i poprečna sila redovno manja, nego što izlazi po toj formuli.

B. Gibanje broda na valovima. Gibanje broda na valovima može se rastaviti na dvije grupe, a svaka grupa na tri vrste gibanja. Prva grupa obuhvaća gibanja u smjeru pojedinih osi broda: a) zaustavljanje — u smjeru uzdužne horizontalne osi broda; b) zanošenje — bočno u smjeru horizontalne poprečne osi; c) poniranje — u smjeru vertikalne osi. Druga grupa obuhvaća oscilatorna gibanja oko raznih osi: d) ljuljanje — oko uzdužne osi; e) posrtanje — oko poprečne horizontalne osi te f) zaošijanje — oko vertikalne osi.

Gibanje je broda na valovima redovno sastavljeno od više vrsta osnovnih gibanja. Najvažnije je ljuljanje, posrtanje, zaošijanje i poniranje broda.

Ljuljanje broda. Ljuljanje je broda na valovima, zbog otpora vode, prigušeno. Prvo promatramo slobodno ljuljanje, kao da nema otpora vode ljuljanju. Razlikujemo ljuljanje broda na mirnoj vodi i njegovo ljuljanje na trohoidnim valovima. Slobodno ljuljanje (bez otpora vode) na mirnoj vodi i na valovima, kao i prigušeno ljuljanje (uz otpor vode) na mirnoj vodi možemo smatrati samo specijalnim slučajevima stvarnog prigušenog ljuljanja broda na valovima. Kod promatranja ljuljanja broda razlikujemo: T — periodu broda, t. j. vrijeme (u sekundama) potrebno za jedan puni njihaj broda od jednog boka na drugi i ponovo na prvi bok, T₁ — periodu vala, potrebno vrijeme, da grebeni dvaju uzastopnih valova prođu istom nepomičnom točkom; L_v — dužinu vala, udaljenost između bregova dvaju uzastopnih valova.

Brod se pod djelovanjem vanjske sile nagne za neki kut. U nagnutom je položaju broda, u mirnoj vodi, moment njegova stabiliteta jednak momentu vanjske sile. U tom položaju brod posjeduje potencijalnu energiju jednaku radnji vanjske sile. Prestankom djelovanja vanjske sile brod se vraća u svoj prvobitni uspravni položaj. Pritom se njegova potencijalna energija troši i pretvara u kinetičku energiju gibanja. Kad brod stigne u uspravan položaj, sva se njegova potencijalna energija pretvorila u kinetičku. Djelovanjem kinetičke energije brod nastavlja gibanje te se, prelazeći svoj uspravni položaj, nagiba na drugi bok, sve dok mu se sva kinetička energija ponovo ne pretvori u potencijalnu. Kad ne bi bilo otpora vode ljuljanju broda, on bi se stalno nagibao od jednog boka na drugi, uvijek do jednake amplitude. U uspravnom položaju (kad je kut nagiba jednak nuli) brod ima najveću kinetičku energiju (kutna mu je brzina ljuljanja najveća), a potencijalna mu je energija jednaka nuli. Zbog otpora vode ljuljanju kutovi nagiba su sve manji, dok se brod konačno potpuno ne smiri u svom uspravnom položaju.

Položaj osi, oko koje se brod ljulja, nije konstantan; on se neprestano mijenja zbog nejednakih forma uronjenih i izronjenih njegovih dijelova. Zbog inercije nije u svakom trenutku istisnina broda jednaka njegovoj težini, te se stoga javljaju i neka sekundarna gibanja. Obično se uzima, da uzdužna os, oko koje se brod ljulja, prolazi težištem njegova sistema, dakle se ljuljanje broda smatra pravim rotacionim gibanjem.

Kod malih je kutova nagiba moment vanjske sile jednak momentu stabiliteta (s obratnim predznakom) = D·MG·ϑ (D = istisnina broda; MG = metacentarska visina; ϑ = kut nagiba). Moment vanjske sile jednak je produktu kutne akceleracije (dϑ²/dt²) s momentom tromosti mase I, a taj je D · k²/g (k—radijus momenta tromosti mase broda). Prema tome je: \[\cfrac{D\cdot k^2}g\cdot\cfrac{d^2\vartheta}{dt^2}=-D\cdot\overline{MG}\cdot\vartheta\;\;\;\text {ili}\;\;\;\cfrac{d^2\vartheta}{dt^2}+\cfrac{g\cdot\overline{MG}\cdot\vartheta}{k^2}=0.\]

To je oblik diferencijalne jednadžbe harmoničnog titranja, kod kojega je perioda \(T=2\,\pi\,k:\sqrt{g\cdot\overline{MG}}\) . (Harmonično titranje je ono titranje, kod kojeg su sile, odnosno ubrzanja proporcionalni udaljenostima od položaja ravnoteže.) S porastom radijusa momenta tromosti raste perioda, dakle pada brzina ljuljanja. To je pojava kod ratnih jedinica, kod kojih je masa (oklop, artiljerija) jako udaljena od težišta sistema. Obratno, s velikom metacentarskom visinom perioda pada; brodovi se s velikom metacentarskom visinom brzo ljuljaju. Perioda ljuljanja broda ne ovisi о kutu nagiba; ljuljanje je izohrono; to važi samo za malene kutove nagiba. Kod izohronog je ljuljanja kutna brzina proporcionalna s amplitudom — kod većeg je nagiba kutna brzina ljuljanja veća.

Rješenjem ove diferencijalne jednadžbe za ljuljanje (kad uzmemo za početno stanje: t = 0, kut nagiba ϑ = 0, a maksimalnu kutnu brzinu dϑ/dt = ω₀), dobivamo, da je kut nagiba:

\[\vartheta=\cfrac{\omega_{\rm o}\cdot T}{2\pi}\cdot sin\cfrac{2\pi t}T.\]

Kod harmoničnog je titranja kutna brzina najveća, kad je kut nagiba jednak nuli; ona je za π/2 puta veća od prosječne kutne brzine. Prosječna je kutna brzina (kod maksimalnog kuta nagiba ϑ = γ₁) jednaka 4γ₁/T. Prema tome je ω₀ = 2πγ₁/T, a u tom je slučaju kut nagiba u nekom trenutku \(\displaystyle\vartheta=\gamma_1\cdot sin\cfrac{2\pi t}T\) .

Kod promatranja slobodnog ljuljanja broda na valovima pretpostavljamo, da je širina broda neznatna prema dužini vala, a kao početno stanje uzimamo, da je brod uspravan u dolini vala. Prolazom vala narušava se ravnoteža broda; on se nagiba od naklona vala. Površina je trohoidnog vala površina konstantnog tlaka, a rezultanta sila u svakoj točki okomita je na površinu vala. Prema Froudeu pretpostavljamo, da na brod djeluju iste sile, koje bi djelovale na vodu, koju on istisne. Brod je podvrgnut na valovima djelovanju centrifugalne sile (zbog gibanja težišta njegova sistema G po krugu) te djelovanju sila dinamičkog tlaka (zbog njegova gibanja na valovima); osim toga, kod nagiba broda postoji još i djelovanje momenata težine i uzgona broda. Jednadžba zagibanje broda na valovima (bez trenja) ima oblik:

\(\qquad\qquad\displaystyle\cfrac{d^2\vartheta}{dt^2}+\cfrac{4\pi^2}{T^2}\left(\vartheta-\cfrac{\pi\cdot a}{L_v}\cdot sin\cfrac{2\pi t}{T_1}\right)=0;\quad\) a = visina vala.

Rješenjem te jednadžbe dobivamo ukupan kut nagiba broda (kod slobodnog ljuljanja na valovima) jednak kutu nagiba (kod slobodnog ljuljanja na mirnoj vodi) povećanom za kut nagiba zbog djelovanja valova.

Nagib broda, u nekom trenutku, jedino zbog djelovanja valova iznosi:

\[\vartheta=\cfrac\Phi{1-(T^2/{T_1}^2)}\left(sin\cfrac{2\pi t}{T_1}-\cfrac T{T_1}\cdot sin\cfrac{2\pi t}T\right),\] gdje je Φ – maksimalni kut naklona vala.

Nagib broda zbog djelovanja valova sastoji se od dvije periodičke funkcije: od periode vala T₁ i periode njihanja broda T u mirnoj vodi. Svaki brod ima svoju vlastitu periodu njihanja. Kad se jednom počne ljuljati, on će nastaviti ljuljanje u svojoj periodi, sve dok se otporom vode potpuno ne iscrpe energija prvobitnog impulsa. Ako brod dobiva u toku ljuljanja periodičke impulse izvana, on se ljulja periodom dobivenih impulsa, a ne u vlastitoj periodi. Takvo ljuljanje zovemo prisilnim. Ljuljanje u mirnoj vodi je slobodno; ljuljanje na valovima je prisilno. Pošto valovi nestanu, brod nastavi ljuljanje u vlastitoj periodi. Kad perioda valova nije konstantna (što je najčešće slučaj u prirodi), tada nije konstantna ni perioda ljuljanja broda, jer brod neprestano teži da se ljulja u svojoj vlastitoj periodi.

Naročito nas interesiraju pojedini specijalni slučajevi kod raznih odnosa između periode broda i periode valova. Kao prvi slučaj promatramo sinhronizaciju: kad je perioda broda T jednaka periodi vala Т₁. U tom slučaju kut nagiba dobivamo iz jednadžbe:

\(\qquad\qquad\displaystyle\vartheta=\cfrac\Phi2\cdot\left(sin\cfrac{2\pi t}{T_1}-\cfrac{2\pi t}{T_1}\cdot cos\cfrac{2\pi t}{T_1}\right)\quad\) (sl. 7)

Na slici je prikazano ljuljanje broda izračunano prema toj formuli. Na polovinama uspona i spusta nagib je broda konstantan, na bregovima i u dolinama kut nagiba broda stalno sa svakim valom poraste za vrijednost (πΦ/2).

Pri prolazu svakog vala (dakle nakon vremena T₁ kut nagiba broda poraste za (πΦ); makar kako malen bio kut naklona vala Ф, kut će nagiba broda ϑ·svejedno brzo narasti i postati opasan po sigurnost broda. Ta opasnost nastaje bez obzira na to, kakav je bio kut nagiba broda na početku prisilnog ljuljanja. Opasnost stalnog porasta kuta nagiba broda postoji samo kod ljuljanja u idealnoj tekućini (bez trenja); osim toga, do ovog smo zaključka došli uz pretpostavku, da je GZ = MG · ϑ, što važi jedino za malene kutove nagiba broda — GZ = poluga statičkog stabiliteta.

Kut nagiba broda ovisi о dvjema veličinama. Prvo: о periodi vala T₁ zbog koje može maksimalni kut nagiba broda iznositi Ф/[1 — (T²/T₁²)]; te drugo: о periodi ljuljanja broda u mirnoj vodi T, kod koje maksimalni kut nagiba broda može postići vrijednost (T/T₁) · Ф/ [1 — (T²/T₁²)]. Na slici 8 su nanesene vrijednosti za kutove nagiba izračunane prema ovim jednadžbama za razne omjere perioda Т/Т₁ na trohoidnom valu visine a = L/20, s maksimalnim kutom naklona vala Ф = 9°; perioda je vala uzeta sa 10 sekunda. Na prvom je dijagramu prikazan slučaj sinhronizacije, kao i područje u blizini sinhronizacije: T/T₁ = 1/1, 4/5 i 5/4; druga grupa sadrži omjere T/T₁ = 1/2 i 2/1, dok treća grupa prikazuje omjer T/T₁ = 5/9 i 9/5. Iz slike 8 vidimo da kod: T/T₁ = ¹/₁ kut nagiba broda stalno raste kod svake periode od 10 sekunda za vrijednost (π · Ф) = 28,2° te već za vrijeme od 30 sekunda kut nagiba toliko poraste, da postaje opasan za brod.

Т/Т₁ = 4/5 i 5/4 (vrijednosti vrlo blizu sinhronizacije) kutovi nagiba broda ne rastu stalno; oni rastu i padaju u nekom ciklusu, koji se stalno ponavlja; kutovi su nagiba doduše veliki i za brod opasni, ali oni postižu neku konačnu vrijednost, koju nikada ne prelaze; ciklusi traju 40, odnosno 50 sekunda;

T/T₁ = 1/2 i 2/1 (daleko od sinhronizacije) kutovi su nagiba broda manji, a ciklusi, u kojima se ponavljaju, kraći (10 odnosno 20 sekunda).

Ljuljanje broda u realnoj tekućini (s otporom). Otpor vode ljuljanju broda nastaje: a) zbog trenja vode na uronjenoj površini broda, b) zbog potrebnog ubrzanja vode, koja se giba zajedno s brodom pri njegovu ljuljanju, a ovisi о površinama broda okomitim na smjer ljuljanja, te c) zbog valova, koji nastaju kod ljuljanja broda. Dio otpora vode ljuljanju, koji nastaje zbog stvaranja valova, proporcionalan je s kutnom brzinom ljuljanja. Dio otpora vode, koji nastaje zbog trenja i ubrzanja vode, proporcionalan je s kvadratom kutne brzine ljuljanja. Ukupni je otpor vode ljuljanju prema tome proporcionalan s nekom vrijednošću između kutne brzine i njenoga kvadrata. Već valovi neznatne visine (koja se jedva i primjećuje), sa širinom jednakom dužini broda, sadrže veliku količinu energije, prema tome je potreban i velik utrošak na njihovo stvaranje. Brzina ljuljanja je proporcionalna s kutom nagiba broda ϑ, a otpor je proporcionalan djelomično s brzinom, a djelomično s njenim kvadratom, pa možemo uzeti, da je smanjenje kuta nagiba δϑ proporcionalno s veličinom kuta nagiba ϑ i s njegovim kvadratom ϑ²; dakle da je δϑ = k₂ · ϑ + k₂ · ϑ². Taylor na temelju pokusa s modelima tvrdi, da je δϑ·= k₂ · ϑ^1,5; Dok Bertin uzima općenito, da je δϑ·= k · ϑ². Nijedna od tih jednadžbi ne zadovoljava potpunoj vrlo je teško odrediti konstante k, koje bi dale dobre rezultate za sve kutove nagiba.

Diferencijal krivulje smanjivanja kutova nagiba zovemo krivuljom prigušivanja. Nju dobivamo, kad na apscise nanesemo srednje vrijednosti kutova nagiba, a na ordinate njima pripadna smanjenja kutova nagiba (u stupnjevima) po jednom njihaju. Iz krivulje prigušivanja broda određujemo konstante k₁ i k₂ tako, da bude udovoljeno jednadžbi. Krivulja prigušivanja je parabola (drugi član jednadžbe) postavljena iznad kosoga pravca (prvi član jednadžbe). Te konstante mogu se za svaki brod odrediti jedino na temelju pokusa njihanja samoga broda. Vrlo ih je teško s nekom točnošću odrediti prema sličnim brodovima, odnosno na temelju pokusa njihanja njihovih modela. Budući da se perioda prigušenog ljuljanja broda samo neznatno razlikuje od periode slobodnog ljuljanja (bez otpora vode), općenito uzimamo, da su one jednake.

Ljuljanje broda s otporom na valovima. Kod slobodnog ljuljanja broda (bez otpora vode) na valovima vidjeli smo, da: 1) kod sinhroniziranog ljuljanja (perioda broda jednaka periodi vala), bez obzira na početni nagib broda i na kutnu brzinu ljuljanja, amplituda (maksimalni kut nagiba za vrijeme jednog njihaja) stalno raste kod svakog njihaja za π · Ф/2 ; te 2) kad ne postoji sinhronizacija (T₁/T), ljuljanje se odvija u ciklusima, koji se ponavljaju; dužina ciklusa (njegovo trajanje) ovisi о omjeru između periode broda i periode vala. Teoretski postoji mogućnost, da kod ljuljanja brod postigne tako velik nagib, da se može i prevaliti. Pitanje je, u kolikoj mjeri postoji ta opasnost u realnim prilikama, t. j. kod prigušenog ljuljanja broda uz otpor vode.

Ako uzmemo, da je kut nagiba broda u mirnoj vodi ϑ, a φ nagib vala prema mirnoj površini vode, tada kut nagiba broda na valovima iznosi (ϑ — φ), a prema tome je moment stabiliteta za male nagibe: D · GM · (ϑ — φ); ako uzmemo dalje, da je otpor vode ljuljanju proporcionalan s kutnom brzinom (dϑ/dt), dakle jednak A ∙ (dϑ/dt), to isto možemo uzeti da vrijedi i za ljuljanje na valovima, jer maksimalni kut uspona vala Ф vrlo brzo postane neznatan prema kutu nagiba broda ϑ. Kad u jednadžbu za slobodno ljuljanje uvrstimo i izraz za otpor vode, dobivamo \[\cfrac{d^2\vartheta}{dt^2}+\cfrac{A\cdot g}{D\cdot k^2}\left(\cfrac{d\vartheta}{dt}\right)+\cfrac{g\cdot\overline{GM}(\vartheta-\varphi)}{k^2}=0,\]

gdje je A = T · D · k₁ · GM/π²; ako uzmemo oblik vala po sinusoidi, t. j. da je \(\displaystyle\varphi=\Phi\cdot sin\cfrac{2\pi t}{T_1},\) dobivamo jednadžbu za ljuljanje u obliku

\[\cfrac{d^2\vartheta}{dt^2}+\cfrac{T\cdot D\cdot k_1\cdot\overline{GM}}{\pi^2}\cdot\cfrac g{D\cdot k^2}\cdot\cfrac{d\vartheta}{dt}+\cfrac{g\cdot\overline{GM}}{k^2}\left(\vartheta-\Phi\cdot sin\cfrac{2\pi t}{T_1}\right)=0,\]

kako je:

\(\displaystyle T=2\pi k/\sqrt{g\cdot\overline{GM}};\quad T^2=4\pi^2k^2/g\cdot\overline{GM};\quad g\cdot\overline{GM}/\pi^2k^2=4/T^2;\quad g\cdot\overline{GM}/k^2=4\pi/T^2\) , to je konačno

\[\cfrac{d^2\vartheta}{dt^2}+\cfrac{4k_1}T\cdot\cfrac{d\vartheta}{dt}+\cfrac{4\pi^2}{T^2}\left(\vartheta-\Phi\cdot sin\cfrac{2\pi t}{T_1}\right)=0.\]

Ta se jednadžba razlikuje od jednadžbe za slobodno ljuljanje na valovima — jedino u drugom članu, koji sadrži otpor vode ljuljanju; u posljednjem je članu sadržano i prisilno ljuljanje s periodom valova. Kut nagiba vrlo brzo raste i postiže svoju maksimalnu vrijednost, dakle i ljuljanje vrlo brzo raste. Rješenjem jednadžbe dobivamo, da kut nagiba broda postaje maksimalan, kada je \(sin\left(\cfrac{2\pi t}{T_1}-x\right)=\pm1;\) to nastaje, kad je \(\left(\cfrac{2\pi t}{T_1}-x\right)=\cfrac\pi2+2n\pi\) ili \(\cfrac{3\pi}2+2n\pi\) (gdje je n = nula ili neki cijeli broj); kad je n = 0, imamo

\[\cfrac{2\pi t}{T_1}-x=\cfrac\pi2;\qquad\cfrac{2\pi t}{T_1}=x+\cfrac\pi2;\qquad 2\pi t=T_1\cdot x+ T_1\cdot\cfrac\pi2;\]

te konačno \(\displaystyle t=\cfrac{T_1\cdot x}{2\pi}+\cfrac{T_1}4,\) odnosno \(\displaystyle t=\cfrac{T_1\cdot x}{2\pi}+\cfrac{3\cdot T_1}4.\) U rješenju jednadžbe х je funkcija neke konstante (koja je za svaki brod druga) i omjera perioda broda i vala.

Prisilno ljuljanje nastaje jedino, kad se perioda broda razlikuje od periode vala. Kad su obje jednake, nastaje sinhronizacija, te moramo očekivati snažno ljuljanje broda. Kad nema otpora vode, vidjeli smo, da kut nagiba broda naglo i stalno raste do beskonačnosti. Kod ljuljanja broda uz otpor vode, kut nagiba broda postaje također velik, ali ostaje uvijek unutar granica konačnih vrijednosti. Kod T = Т₁ dobivamo, da je x = π/2 te maksimalni nagib broda nastaje (kod t = n ∙ (T₁/2) ili t = n ∙ T₁₎ — dakle na brijegu, odnosno u dolini vala; a maksimalna vrijednost kuta nagiba broda je \(\displaystyle\Theta=\cfrac{\pi\Phi}{2k_1}\) ; na polovinama između brijega i doline vala ostaje brod uspravan. Kad energija, utrošena na otpor ljuljanju za jedan njihaj, postane jednaka energiji vala do polovine njegove dužine, data amplituda ljuljanja dostiže svoju maksimalnu vrijednost i više ne može rasti.

Kod vrlo male periode broda možemo uzeti, da je T/T₁ = о, tada postaje i х = 0, te je prema tome kut nagiba broda \(\displaystyle\vartheta=\Phi sin\cfrac{2\pi t}{T_1}\) ; dakle je u svakom trenutku nagib broda jednak naklonu vala. Brodovi s malom periodom nastoje da im paluba bude neprestano paralelna s površinom vala; najveći nagib broda nastaje na najvećem naklonu vala, dakle na polovini visine vala i on je jednak maksimalnom kutu vala Ф. Brod je uspravan na brijegu i u dolini vala. Kutovi su nagiba broda kod ljuljanja umjereni, i on se vrlo dobro drži na valovima.

Kod brodova sa vrlo velikom periodom ljuljanja postaje х = 0, kad je T₁/T = 0; kut nagiba broda uvijek je malen; najveći je na polovinama visina valova, a jednak je nuli na brijegu i u dolini — dakle isto kao i kod vrlo malih perioda broda. Kad se omjer T/T₁ mijenja od 0 do 1, tada se položaj maksimalnog nagiba broda pomiče uz naklon vala prema brijegu, odnosno na drugoj strani prema dolini vala. Kada pak raste omjer T/T₁ od 0 do 1, položaj se maksimalnog nagiba broda pomiče u obratnom smjeru. Na slici 9 je pokazan položaj najvećih nagiba broda za neke omjere T/T₁; na slici 10 predočeni su za razne vrijednosti omjera T/T₁ odnosi između amplitude prisilnog ljuljanja i maksimalnog efektivnog naklona vala; vidimo, da je jedino na području 0,8 < T/T₁ < 1,4 prisilni nagib broda više od dva puta veći od naklona vala, a znamo, da naklon vala rijetko prelazi kut od 9°. Ako držimo omjer T/T₁ izvan ovih granica, ne prijeti brodu opasnost kod ljuljanja.

Rekli smo, da je otpor broda ljuljanju proporcionalan s kutnom brzinom, odnosno s njenim kvadratom. Polazeći od te obje pretpostavke, dobivamo, da je u prvom slučaju maksimalan kut nagiba broda \(\;\displaystyle\Theta=\cfrac{k\cdot\Phi\cdot F}A\cdot\sqrt{\cfrac{\overline{GM}}g}\) , a u drugom je slučaju \[\Theta=\cfrac k2\cdot\sqrt{\cfrac{3\pi\cdot D\cdot\Phi}{2\cdot B\cdot g}}.\]

(gdje su A i В koeficijenti ispred funkcija kuta za svaki brod različiti). Prva jednadžba sadrži metacentarsku visinu, dok je u drugoj jednadžbi nema. Vjerojatno, da je otpor ljuljanju funkcija kutne brzine kao i njenog kvadrata; prema tome je i maksimalni kut nagiba broda neka kombinacija između obje jednadžbe. Odatle izlazi, da dva broda istih perioda mogu imati potpuno različite karakteristike ljuljanja. Uzmemo li dva takva broda, jedan s velikim radijusom tromosti mase i s velikom metacentarskom visinom (bojni brod), a drugi s obje te veličine umjerene (teretni brod s homogenim teretom), ali s jednakim periodama ljuljanja, bojni će brod postići veću amplitudu kod ljuljanja, jer ima, s obzirom na prvu jednadžbu, veću metacentarsku visinu i veći radijus tromosti mase, a i prema drugoj jednadžbi, jer ima veći radijus tromosti.

Stvarno ljuljanje broda. Kad smjer broda čini s bregovima valova neki kut a, mijenja se efektivni kut naklona vala u Ф·sin α, a dolazi do izražaja i prividna perioda valova, koja ovisi о smjeru plovljenja broda. prividnu periodu možemo izraziti sa

\[T_{\rm o}=\cfrac{L_v}{1{\rm,}94(V_v-V_s\cdot cos\,\alpha)}=\cfrac{L_v}{2{\rm,}42\cdot L_v-1{\rm,}94\cdot V_s\cdot cos\,\alpha},\]

gdje je L_v = dužina vala u metrima; V_v = brzina vala u čvorovima; V_s = brzina broda u čvorovima; α = kut između kursa broda i smjera, u kojem mu valovi prilaze, mjeren od krme broda.

Ploveći na valovima, brod gotovo nikada ne nailazi na pravilne i jednolike valove. Zbog toga ni prisilno ljuljanje ni periode valova nisu jednaki, već se stalno nejednoliko mijenjaju. Kod većine brodova primjećujemo, da se ljuljanje odvija 80% u vlastitoj periodi broda (slobodno ljuljanje), a ostalo se nepravilno mijenja. Sinhrono je valjanje uvijek najveće. Kad je poznata brzina broda i brzina valova, možemo odrediti kut između kursa broda i smjera valova, kod kojeg dolazi do sinhronog ljuljanja (kad je T = T_o):

\[cos\,\alpha=\cfrac{1{\rm,}94\cdot T\cdot V_v-L_v}{1{\rm,}94\cdot T\cdot V_s}.\]

Ako još u ovu jednadžbu uvrstimo, da je \(V_v=2{\rm,}42\cdot\sqrt{L_v}\) , dobivamo jednadžbu sa 4 promjenljive vrijednosti: α, T, L_v i V_s; u dijagramima ih možemo prikazati na razne načine i vidjeti, kada dolazi do sinhronog ljuljanja. Na slici 11 su nanesene krivulje dužine valova L_v u ovisnosti о brzini broda V_s i о kutu α te su nа taj način razrađeni dijagrami za dva broda; prvi s vlastitom periodom od 24 sekunde, a drugi za brod s periodom od 8 sekunda. Vidimo, da je opasnost sinhronog ljuljanja daleko veća kod broda s kratkom periodom slobodnog ljuljanja.

Napomenuli smo, da je perioda slobodnog nesmetanog ljuljanja u mirnoj vodi \(T=2k/\sqrt{\overline{GM}}\) . Pomoću ove formule vrlo se rijetko računa perioda broda, jer je vrlo teško izračunati radijus tromosti mase k za brod. Perioda se ljuljanja s trenjem vode samo neznatno razlikuje od periode nesmetanog ljuljanja, te praktički uzimamo, da su one jednake. U vezi s time možemo doći do vrijednosti radijusa tromosti mase (prema ovoj formuli), pošto smo slobodnim ljuljanjem broda odredili njegovu periodu, iako nam je poznata njegova metacentarska visina GM. Teoretski možemo doduše povećati radijus tromosti mase, a da ne mijenjamo metacentarsku visinu, ako simetrički udaljujemo težine od težišta sistema. Praktički to ne možemo na jednom brodu provesti u tolikoj mjeri, da bi to vidljivije djelovalo na periodu ljuljanja. Obično uzimamo, da se promjenom radijusa tromosti povećava perioda ljuljanja, i ujedno smanjuje otpor ljuljanju. Porastom momenta tromosti mase postignuto produženje periode ljuljanja odrazuje se tako, da je u mirnoj vodi potreban veći broj njihaja broda, dok se njegovo ljuljanje ne smiri; kod sinhronog je ljuljanja na valovima prigušivanje ljuljanja manje, i stoga ljuljanje jače.

Povećanje metacentarske visine, bez promjena u drugim karakteristikama broda, prema Seratovim pokusima dovodi do manjeg otpora ljuljanju, time i do manjeg prigušivanja pri pojedinom njihaju. Prema tome, kod sinhronog ljuljanja (odnosno kod ljuljanja u blizini sinhronosti) velika metacentarska visina dovodi do velikih amplituda (veliki GM = velika amplituda — kratka perioda — brzo ljuljanje). Perioda je obratno proporcionalna s drugim korijenom iz GM; relativno kratka perioda u vezi s velikom metacentarskom visinom dovodi do opasnosti sinhronog ljuljanja na valovima. Sinhrono je ljuljanje uvijek snažno i treba ga izbjegavati, a to postižemo najlakše malom metacentarskom visinom. Tako dobivamo sporo ljuljanje s relativno malom amplitudom uvijek, osim kod sinhronog ljuljanja ili kod ljuljanja, koje se dešava u blizini toga područja.

I u tom je slučaju (kod sinhronizacije) ljuljanje blago, te brod nije izvrgnut tolikim naprezanjima (zajedno s posadom), kao što je to slučaj kod brzog i oštrog ljuljanja brodova s kratkom periodom. Kod kratke je periode kutna brzina pri ljuljanju velika; a velika je kutna brzina još mnogo neugodnija od velike amplitude ljuljanja. Velika kutna brzina dovodi i do velike akceleracije, koja izaziva (između ostalog) velika naprezanja konstrukcije, naročito u dijelovima udaljenim od osi ljuljanja. Velika kutna akceleracija djeluje loše i na osjetljiv teret (voće), a povećava i opasnost presipavanja žitkog tereta. Sva ova razmatranja ukazuju na prednost male metacentarske visine; veliki se GM odabire jedino sa stanovišta sigurnosti broda u slučaju prodora vode, ali je ovaj zahtjev sigurnosti često važniji od ugodnog ljuljanja broda.

Iz poznate periode broda možemo odrediti njegovu metacentarsku visinu, ako nam je poznat radijus tromosti mase, uz uvjet da GM ne prelazi 15 cm; možemo uzeti, da je radijus tromosti proporcionalan sa širinom broda, te je u tom slučaju \(\displaystyle T=\cfrac{C\cdot B}{\sqrt{\overline{GM}}}\) , gdje je С neki koeficijent, koji možemo odrediti na temelju pokusnog ljuljanja broda uz poznatu GM. Kod trgovačkih brodova uzimamo normalno, da je С = 0,44.

Naprave protiv ljuljanja broda. Sve ove naprave troše snagu, povećavaju težinu i oduzimaju koristan prostor. Teži se, da periode naprava odgovaraju periodi broda, odnosno da postoji neki određeni odnos između obiju perioda. Nadalje mora postojati neki pomak u fazama; obično perioda naprave zaostaje za 90° iza periode broda. U praktičnoj primjeni postoje ove naprave: ljuljna kobilica, tankovi protiv ljuljanja, giroskopski stabilizator i prekretne peraje.

1. Ljuljne kobilice (sl. 12) ugrađuju se u uzdužnom smjeru okomito na formu broda u blizini ili na samom bočnom uzvoju dna broda. Nalazimo ih kod većine brodova namijenjenih za plovidbu po moru; protežu se na 25 do 75% brodske, dužine, a visoke su od 25 do 90 cm. Visina im je ograničena, jer se želi, da njihov vanjski rub ne viri ni ispod najniže, ni izvan najšire točke broda, da se ne bi oštetile. Niske ljuljne kobilice, koje ne prelaze debljinu graničnog sloja, nisu od velike koristi. Ljuljne kobilice pružaju otpor ljuljanju i smanjuju amplitudu njihaja, a samo neznatno povećavaju mu periodu, jer dovode veću masu vode u gibanje zajedno s brodom. Djelovanje im je mnogo bolje, kad brod plovi, negoli kad stoji na mjestu. Možemo ih smatrati nosećim plohama; njihovo djelovanje ovisi о brzini plovidbe, о kutu napada α i ο omjeru njihove dužine prema visini. Kod ovih je ploha uzgon proporcionalan s kvadratom brzine, odakle i slijedi njihovo daleko bolje djelovanje, kad se brod nalazi u plovidbi. Utjecaj se omjera visine prema duljini znatno poveća, ako se one ne izvode u kontinuiranom obliku, već u više kraćih komada, postavljenih u više redova. U tom slučaju svaka pojedina peraja dolazi jače do izražaja. Djelovanje je ljuljnih kobilica mnogo bolje na brodovima s manjim momentom tromosti (kod teretnih brodova s koncentriranim teretom) negoli u obratnom slučaju (kod bojnih brodova s oklopom na oplati). Položaj kobilica mora biti u smjeru strujanja vode, da se izbjegne njihov prevelik otpor (u tom slučaju one pružaju jedino otpor trenja). Sl. 13 pokazuje djelovanje ljuljnih kobilica.

2. Tankovi protiv ljuljanja, sastoje se od dva vertikalna tanka, svaki na svojem boku broda, spojena na dnu i na vrhu, da voda i zrak mogu prelaziti iz jednoga tanka u drugi. U stvari oni rade na principu spojenih cijevi. Prvi ih je uveo Frahm (barem u suvremenijem smislu, ako ne uzmemo u obzir pokuse, koje je vršio Froude već 1874). Tankovi su radi lakšeg smještaja obično raspoređeni na gornjim dijelovima broda, stoga je i spojna cijev redovno iznad težišta sistema, te moment (zbog ubrzanja vode u spojnoj cijevi) djeluje u istom smjeru sa statičkim momentom vode u vertikalnim bočnim tankovima, čime raste djelovanje ukupnog sistema. Spojne su cijevi manjeg presjeka, čime se povećava perioda pretjecanja vode iz bočnih tankova. Perioda osciliranja vode u cijevima oblika U iznosi \(2\pi\sqrt{l\cdot g},\) gdje je l jednaka polovini dužine cijevi; većim presjekom vertikalnog dijela cijevi raste efektivna dužina cijevi, a time i perioda osciliranja. Time možemo postići, da perioda osciliranja vode u cijevi bude jednaka periodi broda; u stvari se jedva postiže, da ona bude 0,7 T i da pomak faze (između valjanja broda i pretjecanja vode) bude 90°. Reguliranjem prelaženja zraka iz jednoga tanka u drugi reguliramo količinu vode, koja pretječe, kao i njenu periodu. Bez prelaska zraka nastajao bi predak (odnosno podtlak), čime bi se količina vode u pretjecanju znatno smanjila; u tom bi slučaju čitav sistem djelovao na principu Froudeovih prigušnih komora i jedino smanjivao poprečni stabilitet (sl. 14).

Na slici je predočeno djelovanje Frahmova tanka za prigušivanje ljuljanja broda. Pomak faze iznosi 90°, te voda u horizontalnoj cijevi struji uvijek nizbrdo i stvara moment prigušivanja u suprotnom smjeru od ljuljanja broda. Ovi tankovi stvarno smiruju ljuljanje na polovinu. Za potpuno smirenje ljuljanja trebalo bi spriječiti tendenciju broda da zauzme takav položaj, da mu jarboli stoje okomito na površinu vala. U tu bi svrhu bilo potrebno, da voda u stanovitom vremenu struji u horizontalnoj spojnoj cijevi uzbrdo — dakle bi čitav sistem trebalo aktivizirati. Aktiviziranje se provodi tako, da se u gornji dio tanka tlači zrak, i time se po volji mijenja količina vode u svakom bočnom tanku. Reguliranje se vode postiže posebnim giroskopom (s anticipiranim pomakom faza), koji spajanjem električnih kontakta upućuje kompresore i otvara ventile za izlaz zraka. S takvim je aktiviziranim sistemom ljuljanje broda, amplitude 8°, uspjelo kod pokusa svesti, unutar 14 njihaja, na svega 1°; na valovima se ljuljanje od 13° svelo na 2,5°. Uspjeh aktiviziranog stabilizatora ovisi о preciznosti aparature za reguliranje (koja mora biti stalno u pogonu), da održava potreban pomak faze između stabilizatora i impulsa, zbog kojega nastaje ljuljanje. Primarno reguliranje (upućivanje mehanizma za stabilizaciju) mora biti vezano uz kutnu brzinu ljuljanja, a sekundarno reguliranje (zaustavljanje mehanizma) uz količinu vode. Primarnu kontrolu vrši giroskop, a sekundarnu neko mjerilo visine vode u tankovima. Za stvarnu je stabilizaciju potreban još neki razmak u vremenu, koji regulira vakuumska cijev kontrolom kruga električne struje. Ako kod nejednolikih valova (a takvi su valovi na moru) kontrolni uređaji zakažu, dolazi do narušavanja potrebnog pomaka u fazama, što može postati opasno za brod.

Na njemačkom putničko-teretnom brodu Hamburg bio je izveden poseban sistem tankova. Na svakom je boku bio poseban tank otvoren na donjem dijelu i spojen s vanjskom vodom. Tank je na gornjem dijelu imao otvore za ulaz i izlaz zraka, koji se mogao regulirati posebnim ventilima. Presjekom donjeg otvora i reguliranjem zraka postizao se potreban pomak u fazama.

3. Giroskopski stabilizator (sl. 15). Njegovo se djelovanje zasniva na svojstvu zvrka, koji teži, da mu os njegove vrtnje stalno zadrži isti smjer. Ako takav zvrk postavimo u okvir, koji se slobodno okreće oko horizontalne osi, dobivamo Schlickov giroskop. Kad se os zvrka zbog ljuljanja broda nagne udesno, vanjski moment (koji djeluje na okvir giroskopa) proizvodi nagib osi zvrka u uzdužnom smjeru; to je precesija. Zbog nje nastaju reakcije u horizontalnim ležajevima okvira, koje čine par sila sa smjerom suprotnim od smjera momenta, pod kojega se djelovanjem b. nagnuo. Kočenjem precesionog gibanja postiže se potrebni pomak faza između djelovanja vala i giroskopa. Tako ovaj stvara moment i stabilizira brod. Taj se princip smatra zastarjelim. Sperry je uveo primarni giroskop za kontrolu električnih kontakta i za ranije upućivanje glavnog giroskopa, tako da on pretječe nagib broda u obratnom smjeru. Smirivanje ljuljanja ovisi о radu giroskopa; moment tromosti giroskopa pomnožen s brzinom pretjecanja i s brzinom nagibanja mora biti jednak momentu, koji je nagnuo brod. Da djelovanje giroskopa bude potpuno, mora njegova perioda biti sinhronizirana s ljuljanjem broda i zaostajati u fazi od 90°. Sperryev je giroskop astatičan; horizontalna mu os prolazi težištem sistema. Mali je primarni giroskop osjetljiv jedino na poprečno kutno ubrzanje broda, a nije osjetljiv na stalne nagibe broda. Primarni je giroskop u stanju da prije velikog giroskopa osjeti ubrzanje nagibanja broda, te on upućuje veliki giroskop u smjeru, da bi ovaj predusreo nagibanje, umjesto da se kasnije mora boriti sa već nastalim nagibom. Umjesto kočnica (za kočenje precesije) on ima na horizontalnim osovinama električne motore, koji ranijim upućivanjem dovedu giroskop da već ranije djeluje u suprotnom smjeru od nagiba broda. Primarni giroskop jedino spaja potrebne kontakte i upućuje glavne električne motore (na horizontalnoj osovini) da se okreću u potrebnom smjeru. Nastaje snažan moment s djelovanjem suprotnim nagibanju broda, koji priječi da uopće dođe do većih nagiba broda kod ljuljanja. Giroskopi dovoljnog kapaciteta smanjuju ljuljanje na 50%. Njihov je nedostatak, što ne daju stabilizatorni moment, kad prestane precesija; prema tome, u slučaju da je okvir giroskopa već zakrenut do krajnjih granica, prije nego što se dovrši nagibanje broda, moment uspravljanja postaje jednak nuli; moment nagibanja ne nailazi više ni na kakav otpor, te naglo poraste brzina nagibanja broda. Giroskopi su inače skupi, teški su, zauzimaju na brodu dosta mjesta i troše snagu.

4. Prekretne peraje. Imaju oblik sličan krmilu, a izlaze koso izvan broda. Svaka je peraja uklinjena na svojoj osovini; nutarnji su krajevi osovina povezani preko zupčanika, te se istodobno obje okreću za isti kut, ali u suprotnom smjeru. Zakretanje osovina vrši električni motor upućivan primarnim giroskopom, slično primarnom giroskopu kod Sperryeva stabilizatora. Zakretanjem osovina, prednji rub peraje na boku broda, koji se kod nagiba spušta, skrenut je prema gore, a na drugom boku obratno. Kod vožnje pramcem jedna peraja stvara uzgon, a druga nizgon. Nastali par sila suprotstavlja se momentu nagibanja broda. Kod najnovijeg Dennyeva stabilizatora peraje se uvlače. Pokusima na brodu Isle of Sark utvrđeno je, da se kod periode od 10 sekunda kut ljuljanja broda od 20° sveo za 45 sekunda (dakle za 4½ periode) na svega 2°; gubitak na brzini iznosio je svega 0,21 čv (zbog otpora peraja); težina uređaja iznosila je oko 15 tona, a potrebna snaga za pogon peraja oko 30 KS.

Među nedostatke peraja ubrajamo potreban otvor na boku broda, mogućnost oštećenja, povećanje otpora, a konačno i to, što one djeluju ispravno jedino u plovidbi kod neke određene brzine broda, jer je moment njihova uspravljanja proporcionalan s kvadratom brzine. One prema tome nisu prikladne za brodove, koji po svojoj namjeni plove raznim brzinama (razarači).

Za ispravno funkcioniranje svih stabilizatora najvažniji je uređaj za reguliranje. Jedino aktivizirani uređaji djeluju s punim uspjehom. Kontrolni uređaj mora anticipirati nagibanje broda mnogo ranije, nego što brzina nagibanja poraste, ako se želi postići pogodna stabilizacija. Stabilizator bi morao početi svojim djelovanjem (kad bi htio držati brod u uspravnom položaju), već dok se val približuje brodu, što nije moguće postići. Nijedan stabilizator ne radi dobro kod nejednolikih valova; nijedan ne može odstraniti nagib, koji nastaje kod zaošijanja broda; a ovi nagibi imaju redovito veću amplitudu, brzinu i akceleraciju od nagiba broda kod ljuljanja na valovima.

Posrtanje. Uzdužni je moment tromosti brodske mase vrlo velik, zato do posrtanja dolazi tek na većim valovima. Kod posrtanja se brod svojom uzdužnom osi nalazi okomito (ili pod nekim kutom, različitim od 90°) na bregovima valova. Njegova plovna vodena linija nije ravna površina; kad je dužina broda jednaka (ili veća) od dužine vala, čitav se profil vala nalazi unutar dužine broda. Težište njegove istisnine određujemo tako, da za plovnu vodenu liniju uzimamo profil vala. Kod ljuljanja broda javlja se uvijek i posrtanje; kod posrtanja ne mora uvijek doći i do ljuljanja broda. Kad je brod paralelan s bregovima valova, on se ljulja a ujedno i posrće; kad je okomit na grebenima, on posrće, ali se ne ljulja. Razlog je tome, što os ljuljanja leži u ravnini simetrije broda, dok os posrtanja ne leži. Brod nije simetričan ni na jednu poprečnu ravninu. Kad se brod ljulja, pomiče mu se težište istisnine, kao i težište plovne vodene linije, u poprečnom i uzdužnom smjeru, te on uz ljuljanje mora i da posrće. Središnja je uzdužna ravnina ujedno i njegova ravnina simetrije. Kod posrtanja težište mu se istisnine, kao i težište plovne vodene linije, pomiče jedino u uzdužnom smjeru (zato posrće), dok se u poprečnom smjeru ne pomiče (zato se ne ljulja).

Kod malih amplituda posrtanja leži os posrtanja na presjeku vertikalne poprečne ravnine (položene težištem istisnine) s horizontalnom ravninom, koja prolazi težištem sistema. Porastom amplitude posrtanja os se sve više primiče težištu sistema. Uz posrtanje se uvijek javlja i poniranje broda (dizanje i spuštanje broda paralelno s vertikalnom osi). Zbog istodobnog posrtanja s poniranjem čini se, kao da se prividno središte njihanja nalazi daleko od stvarne osi posrtanja. Položaj toga prividnog središta u uzdužnom smjeru ovisi o tome, da li se pramac (odnosno krma) broda diže (zbog posrtanja) istodobno, kad se čitav brod diže (odnosno spušta) uslijed poniranja. Najveće posrtanje nastaje, kad se brod nalazi okomito na valovima. Ravnoteža broda po duljini je narušena, jer se težište istisnine ne nalazi na istoj vertikali s težištem sistema (težište se istisnine pomaklo u uzdužnom smjeru). Nastaje moment jednak produktu istisnine s udaljenošću obaju težišta. Pod djelovanjem toga momenta brod posrće, a tome se posrtanju suprotstavlja moment tromosti mase broda.

Ako označimo, da je GZ_l — uzdužna poluga momenta stabiliteta; k_l — uzdužni radijus tromosti; I_l — moment tromosti mase broda s obzirom na poprečnu os kroz težište brodskog sistema; ψ — kut uzdužnog nagiba broda; tada je

\[\cfrac{d^2ψ}{dt^2}+\cfrac g{{k_l}^2}\cdot\overline{GZ_l}=0.\]

Možemo uzeti, da se uzdužna poluga GZ_l sastoji od dva dijela: jedan dio nastaje zbog uzdužnog nagiba broda; on je kod malog kuta nagiba ψ jednak GM_t · ψ; drugi dio nastaje zbog profila vala, te ga je teško odrediti. Kent za ovaj drugi dio predlaže, da se uzme \(\displaystyle b_l\cdot sin\cfrac{2\pi t}{T_{\rm o}}\) ; gdje je T₀ — prividna perioda valova; b_l — maksimalni uzdužni pomak težišta istisnine (od njegova položaja u mirnoj vodi), koji bi nastao prolazom vala niz brod, kad bi kod toga brod ostao u svojem mirnom položaju. Nagib broda prema valu je (ψ — ξ) ili (ξ — ψ), što ovisi о položaju vala prema brodu. Rješenjem jednadžbe za posrtanje dobivamo

\[ψ=\cfrac{γ}{1-({T_p}^2/{T_{\rm o}}^2)}\cdot\left(sin\cfrac{2\pi t}{T_{\rm o}}-\cfrac{T_p}{T_{\rm o}}\cdot sin\cfrac{2\pi t}{T_{\rm o}}\right),\]

gdje je \(\displaystyle T_p=2\pi k_l/\sqrt{g\cdot\overline{GM_l}}\cong2k_1/\sqrt{\overline{GM_l}}\) perioda jednog punog posrtaja od pramca dolje do pramca gore. Posrtanje je sastavljeno od dva harmonična njihaja:

periode T_p i amplitude γ/[l — (Т_р²/Т₀²],

periode T₀ i amplitude (Т_р/Т₀) · γ/[ l · (Τ_p²/Τ₀²)].

Interesiraju nas naročito tri razna slučaja: kod velikog omjera između prividne periode valova T₀ i periode posrtanja T_p; kod malog omjera T₀/T_p; te kad su obje periode jednake T_p = T₀.

Prvi slučaj nastaje, kad brod malom svojom brzinom nailazi na duge valove, odnosno, kad brod plovi u istom smjeru s valovima brzinom nešto većom od brzine valova. U tom slučaju možemo zanemariti drugi član jednadžbe, a nazivnik faktora postaje gotovo jednak jedinici, te je \(\displaystyle ψ=γ\cdot sin\cfrac{2\pi t}{T_{\rm o}}\) , a ujedno i ψ_maks = γ. Brod slijedi efektivan naklon vala i posrće u prividnoj periodi valova (prisilno posrtanje), maksimalni je kut posrtanja jednak kutu naklona vala ili nešto manji.

Drugi je slučaj (T₀ malo; T_p veliko) vrlo rijedak. On nastaje, kad brod velikom brzinom plovi ususret kratkim valovima. Jednadžba tada glasi:

\(\displaystyle ψ=γ(T_{\rm o}/T_p)\cdot sin\cfrac{2\pi t}{T_p}\) , odnosno ψ_maks = γ (T₀/T_p).

Posrtanje se zbiva u vlastitoj periodi broda; ono je neznatno, jer je omjer T₀/T_p vrlo malen; što je brod brži, to je manja prividna perioda. Brzi brodovi s velikom periodom posrtanja imaju neznatnu amplitudu posrtanja, kad plove ususret kratkim valovima.

Za rješenje trećeg slučaja (T_p = T₀) deriviramo brojnik i nazivnik člana izvan zagrade te dobivamo \[ψ=\cfrac{γ}2(sin\cdot\cfrac{2\pi t}{T_{\rm o}}-\cfrac{2\pi t}{T_{\rm o}}\cdot cos\cfrac{2\pi t}{T_{\rm o}}),\]

a to je jednadžba za sinhrono posrtanje bez otpora vode, kod kojeg za svaki razmak vremena t = T₀/2 kut (amplituda) raste za πγ/2; ψ će biti maksimalno, kad bude istodobno

\[sin\cfrac{2\pi t}{T_{\rm o}}=\pm1\;\;\;i\;\;\;sin\cfrac{2\pi t}{T_p}=\pm1;\]

prema tome imamo 4 vrijednosti za maksimalno ψ:

\[\cfracγ{1\pm(T_p/T_{\rm o})}\;\;\;\text{i}\;\;\;-\cfracγ{1\pm(T_p/T_{\rm o})}\]

te su apsolutni maksimumi kod

\(\qquad\qquad\displaystyle t=\cfrac{T_{\rm o}}4\qquadψ_1=\cfracγ{1+(T_p/T_{\rm o})}\)

\(\qquad\qquad\displaystyle t=\cfrac{3T_{\rm o}}4\qquadψ_2=\cfracγ{1-(T_p/T_{\rm o})}.\)

Maksimalni nagib broda s obzirom na naklon vala je (γ — ψ₁ odnosno (ψ₂ — γ); kod t = T₀/4 i t = 3T₀/4 postaje ξ = γ pa ti nagibi iznose

\(\qquad\qquad\displaystyle-\cfrac{(T_p/T_{\rm o})γ}{1+(T_p/T_{\rm o})}\) , odnosno \(\displaystyle\;\cfrac{(T_p/T_{\rm o})γ}{1-(T_p/T_{\rm o})}\) .

Po veličini kuta nagiba broda prema naklonu vala vidimo, da li brod kod posrtanja grabi pramcem vodu. Brod, koji posrće s malom amplitudom (neznatno posrtanje), može, prema ovim jednadžbama, krcati više vode od broda s većim kutom posrtanja.

Maksimalna je kutna amplituda posrtanja uvijek znatno manja od amplitude ljuljanja. Budući da je uzdužni moment tromosti mase broda veći od poprečnoga, to će i otpor vode posrtanju doći mnogo manje do izražaja. Kako je uvijek \(\displaystyle\sqrt{\overline{GM_l}/\overline{GM}}>k_1/k\) , to je i T>T_p — perioda je posrtanja uvijek manja od periode ljuljanja; obično perioda posrtanja dostiže 1 do 2 trećine periode ljuljanja. Brod posrče uglavnom (zbog nejednolikih valova) u vlastitoj periodi.

Poniranje. Isti uzroci, koji dovode do posrtanja i do ljuljanja, mogu dovesti i do poniranja broda; poniranje može nastati istodobno s ljuljanjem, odnosno s posrtanjem. Do poniranja ne može nikada doći na mirnom moru. Kad se brod ljulja u dolini vala, težište njegova sistema opisuje putanju u formi elipse. Srednji radijus te putanje odgovara suptrohoidi na visini dna broda u mirnoj vodi. Poniranje, koje nastaje uz ljuljanje, harmonično je s periodom, jednakom periodi ljuljanja; amplituda poniranja jednaka je amplitudi suptrohoide, koja odgovara gazu broda u mirnoj vodi. Kad brod leži s uzdužnom svojom osi okomito na bregovima valova, stalno se po visini mijenja položaj težišta njegova sistema (s obzirom na njegov položaj u mirnoj vodi) zbog toga, što rebra na krajevima imaju manju površinu od rebara po sredini broda. Kad se jedan kraj broda nalazi na jednom brijegu vala, drugi na drugom brijegu, a sredina broda na dolini vala, nastoje veći uron broda, jer gubitak uzgonom na sredini broda (punija rebra) nije nadomješten uzgon na krajevima. Obratno od toga, kad je sredina broda na brijegu vala, a krajevi u dolinama, brod mora izroniti iznad svog urona u mirnoj vodi. Kad bi dužina valova bila točno jednaka dužini broda, i kad bi se pritom valovi veoma lagano gibali uzduž broda, brod bi imao vremena da svoj položaj po vertikali stalno prilagođuje položaju vala, te bi se težište njegova sistema gibalo po sinusoidi. Vertikalni bi pomak težišta G bio u svakom pojedinom trenutku \(\displaystyle r\cdot sin\cfrac{2\pi t}{T_{\rm o}}\) , gdje je T₀ = prividna perioda valova, 2r = amplituda poniranja.

Pomicanje broda u vertikalnom smjeru zaostaje uvijek iza promjene razine vode. Ako označimo sa z vertikalnu udaljenost težišta sistema (u bilo kojem trenutku) od njegova položaja u mirnoj vodi, tada je \(\displaystyle z< r\cdot sin\cfrac{2\pi t}{T_{\rm o}}\) ; znači, da je udaljenost z manja od uvjeta za ravnotežu. Neka je nadalje Т_f srednji uron broda po toni istisnine za područje vodenih linija između brijega i doline vala, tada postoji sila, zbog koje dolazi do akceleracije broda; ta je sila \(\displaystyle Tf\left(r\cdot sin\cfrac{2\pi t}{T_{\rm o}}-z\right)\) , a vertikalna je akceleracija

\[\cfrac{d^2z}{dt^2}=\cfrac{Tf\cdot g}D\left(r\cdot sin\cfrac{2\pi t}{T_{\rm o}}-z\right).\]

Maksimalne i minimalne vrijednosti vertikalnog pomicanja težišta sistema iznose

\[Z=r\;\sqrt{\cfrac{Tf\cdot g}D}:\sqrt{\cfrac{Tf\cdot g}D\pm\cfrac{2\pi}{\rm T_o}}.\]

Za poniranje broda na valovima uz otpor vode važi ista jednadžba, samo treba u nju još uvrstiti izraz za otpor vode. Read je riješio jednadžbu za poniranje uz otpor vode (pomoću Froudeove metode grafičkog integriranja) i zaključio, da je kod malih brzina poniranja utjecaj otpora vode neznatan. Kod maksimalnih brzina i maksimalnih amplituda poniranja smanjuje se zbog otpora vode amplituda za 15%, a otprilike se za tu istu vrijednost povećava perioda. Stvarna amplituda poniranja u vezi s posrtanjem može iznositi i preko 5 metara; amplituda poniranja u vezi s ljuljanjem može biti još i veća.

Zaošijanje. Zaošijanjem nazivamo osciliranje broda oko vertikalne osi, koja prolazi otprilike težištem njegova sistema — zapravo je to skretanje broda s njegova kursa. Da bismo predusreli tu neugodnu pojavu, moramo se služiti krmilom, čime raste otpor broda i javlja se nagibanje na bok. Nijedan, dosad u upotrebi, uređaj za stabilizaciju ljuljanja broda nije u stanju da ukloni ili smanji bočni nagib broda nastao zbog zaošijanja. I veoma duga tjelesa teže da na valovima skrenu sa svojega smjera; tu pojavu nazivamo nestabilnošću u smjeru, a za njeno ispravljanje služimo se krmilom. Kod plovljenja na valovima brod skreće sa svoga smjera, te ga krmilo samo vraća natrag u prijašnji smjer ili unaprijed predusreće to skretanje. Razlog je skretanju broda trovrstan: statički tlak vode, jer razina nije na oba boka jednaka, dinamički tlak zbog rotacionog gibanja vode u valovima, te girostatski par sila zbog toga, što se brodu za vrijeme posrtanja nameće još i ljuljanje.

Jedino, kada brod plovi okomito na smjer valova, nastaje jednak profil vala na oba boka broda; u svim se drugim slučajevima profili valova na bokovima razlikuju. Kod različitih profila, težišta se tlaka oplakanih površina na oba boka razlikuju. Nastaje par sila, koje nastoje da brod skrenu oko njegove vertikalne osi. Smjer se toga para sila mijenja s promjenom oblika vala niz brod; time ovo zakretno gibanje broda postaje oscilatorno, s periodom jednakom prividnoj periodi valova. Tako nastalo zakretanje broda postiže najveću amplitudu, kad smjer broda čini sa smjerom vala kut od 45° odnosno 135°, jer je tada razlika u statičkim tlakovima najveća.

U trohoidalnom se valu čestice vode gibaju po kružnicama; radijusi se tih kružnih putanja naglo smanjuju s dubinom vode. Na grebenu se vala čestice gibaju sa smjerom gibanja vala, a u dolini obratno. Kad čestice vode udare о brod, one promijene svoj smjer, ali djeluju na brod dinamičkom silom. Prema slici 18 vidimo, kako djelovanjem tih dinamičkih sila nastaje zaošijanje broda: veći tlak na jednom boku pramca i na suprotnom boku krme skreću brod s njegova smjera. Pola periode kasnije smjer se u djelovanju para sila mijenja, te skreće brod u drugom pravcu. Dakle se i dinamičko djelovanje valova odrazuje u zaošijanju broda i to u prividnoj periodi valova.

Kad se brod uz posrtanje još i ljulja, što je uvijek slučaj, kad pod nekim kutom (različitim od pravoga kuta) nailazi na valove, os, oko koje se on ljulja, nije u prostoru fiksiran horizontalan pravac. Njegova os ljuljanja u tom slučaju također oscilira u granicama kutne amplitude posrtanja. To osciliranje osi ljuljanja uzrokuje girostatski par sila, zbog kojeg se također javlja zaošijanje broda. Smjer ovoga zaošijanja ovisi o odnosu između periode broda (koji se ljulja, a ujedno i posrće) i prividne periode valova. Razlikujemo pet raznih slučajeva:

1) Perioda je vala manja od periode posrtanja; smjer je girostatskog para sila konstantan. Zaošijanje broda nastoji dovesti brod s njegovom uzdužnom ravninom paralelno uz bregove valova. U tom slučaju brod ne skreće, kad plovi paralelno s bregovima.

2) Perioda je valova jednaka periodi posrtanja; smjer girostatskog para sila nije konstantan, te brod stalno skreće.

3) Perioda je valova veća od periode posrtanja, ali je manja od periode ljuljanja; smjer je girostatskog tlaka konstantan, ali suprotan smjeru iznesenom pod 1) — on nastoji da dovede brod okomito na valove.

4) Perioda je valova jednaka periodi ljuljanja; nastala je pojava slična pojavi iznesenoj pod 2) — brod stalno skreće sa svoga smjera.

5) Perioda je valova veća od periode ljuljanja broda; zaošijanje je slično onom pod 1) — brod nastoji, da dođe u položaj paralelan s bregovima valova.

Uz normalne prilike, pod kojima zaošijanje nastaje, girostatski par sila nije velik; u tom slučaju nije potrebna tolika upotreba krmila kao u ostalim slučajevima.

Kad je brod pod djelovanjem valova izvrgnut zaošijanju, vlada se jednako kao i pri krmilarenju u prvoj fazi, neposredno nakon skretanja krmila. Brod nastavlja ploviti u svom prvobitnom smjeru, ali se taj smjer više ne podudara s njegovom uzdužnom ravninom simetrije, već čini s njom neki kut. Nastaje povećani tlak vode na jednom boku, te se brod nagne na drugi bok. Neposredno nakon toga brod počne da skreće — on prestane ploviti u pravcu i počinje ploviti po krivulji. Dolazi do izražaja centrifugalna sila sa svojim hvatištem u težištu sistema. Položaj je težišta sistema obično iznad težišta lateralnog (bočnog) otpora. Nastaje nagib na vanjski bok — suprotan od smjera skretanja. Moment nagibanja raste i zbog povećanog tlaka vode na vanjskom boku broda. Taj povećani tlak nastaje zbog toga, što se smjer uzdužne ravnine broda ne podudara (čini neki kut) s putanjom težišta brodskog sistema. Dolazi do povećanog nagiba broda na njegov vanjski bok; to nagibanje nema nikakve veze s ljuljanjem broda. Taj nagib nazivamo nagibom zaošijanja. On je najveći, kad valovi prilaze brodu bočno po krmi, te kada se još i prividna perioda valova približava naravnoj periodi ljuljanja broda (sinhronizacija). Nagibi broda zbog zaošijanja mogu biti kod istih valova veći od nagiba zbog ljuljanja. Nikakvi stabilizatori protiv ljuljanja nisu u stanju da predusretnu ovo nagibanje (kao ni nagibanje nastalo uporabom krmila).

Kad valovi prilaze s krme broda, možemo smanjiti zaošijanje: povećanjem pretege na krmi, povećanjem brzine prekretanja krmila, kod brodova na dva vijka — smanjenjem brzine jednoga vijka, da bi se predusrelo nastojanje broda da dođe u položaj paralelan s bregovima valova, povećanjem središnje peraje na krmi (ispunjavanjem otvora i isječaka); povećanjem površine krmila; te konačno neznatnom promjenom u brzini broda. Zaošijanje možemo predusresti i brzim skretanjem krmila za mali kut. Giroskopski kompasi (za automatska krmilarenja) otkriju nastojanje broda zaošijanju i predusretnu ga mnogo brže i uspješnije i od najvještijeg krmilara. Automatske naprave za krmilarenje u znatnoj mjeri smanjuju zaošijanje broda.S. Š.

LIT.: G. C. Manning, Motion of ships among waves, Principles of Naval Architecture, New York 1947; A. C. Robb, Theory of Naval Architecture, London 1952; H. Herner i K. Rusch, Theorie des Schiffes, Leipzig 1952.